线性代数 | 乘法、逆矩阵、分解

乘法、逆矩阵、分解、转置都是线性代数的基本概念,这一篇也是突入向量空间之前的最后一篇了。

乘法

计算矩阵乘法要掌握以下四种方式。

  • 直接相乘法,即对于矩阵$AB=C$,有$c_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$
  • 列相乘,A右乘以列向量,相当于A中各列的线性组合,得到的是一个列向量,然后可以扩展到整个矩阵。
  • 行相乘,A左乘以行向量,相当于A中各行的现象组合,得到的是一个行向量,然后可以扩展到整个矩阵。
  • A的列乘以B的行会得到一个矩阵,对应列、行相乘得一个矩阵,把各个矩阵直接相加可以得到最终矩阵。想理解这个,可以把A矩阵的每一列当成一个块,B矩阵的每一行当成一个块。并不建议用这个方法来计算矩阵乘法,但一列乘以一行得到的矩阵有着美妙的性质,所得矩阵的每一列、每一行都依赖于同一列,也依赖于同一行。

逆矩阵

矩阵可逆的条件是,存在方阵A且$AA^{-1}=A^{-1}A=I$,可逆方阵又称作非奇异矩阵。我们现在通过一个奇异矩阵来了解一下可逆矩阵。假设存在一个奇异矩阵$A$

  • 拓展一。 假设存在一个矩阵B,能使得AB=I,从列图像的角度来看,矩阵$AB$每一列必然与向量$[1,3]$在同一方向上,但单位矩阵的$[1,0]$不在,因此它不可逆。
  • 拓展二。如果存在非零向量$x$,使得$Ax=0$,则A不可逆。证明,反证法,若A可逆,则两边同时左乘$A^{-1}$,则有$Ix=A^{-1}0$,即$x=0$,与原条件矛盾。 事实上,有非零向量$x$,说明矩阵A各列可以通过线性组合得到零向量,说明各列线性相关,这都是等价的。

LU分解

矩阵的分解是一个很重要的话题,我们可以把一个矩阵分成一些特殊矩阵或者更简单的矩阵,从而简化问题,帮忙发现问题的本质,LU分解就是矩阵的一个基础分解。

我们在前学过消元法,消元法的本质是行变换,其实矩阵有很多变换形态,只不过行变换经常是和解方程联系在一起的。由前文可知,矩阵可以通过消元由A变成U,即存在消元矩阵E,使得$EA=U$。我们现在想求的分解是$A=LU$,则有$L=E^{-1}$,即是消元矩阵的逆矩阵。

转置、置换矩阵

矩阵左乘置换矩阵可以进行行互换,置换矩阵的形式是单位矩阵行行互换的矩阵。

考虑一个三阶单位矩阵I,依次调整它的行的位置,则共有$3!=6$种矩阵,这可以从行变换(行向量乘以矩阵)的角度去思考。另外,置换矩阵群内的矩阵相乘依然是置换矩阵,它们之间有逆矩阵的关系。另外置换矩阵的逆矩阵和其转置矩阵相等。

转置矩阵的概念:$A^T_{ij}=A_{ji}$。对于对称阵:$A^T=A$。构造对称阵也很简单:$R^TR$

下一章,我们突入线性代数的核心,向量空间。

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