线性代数 | 奇异值分解、线性变换

以最重要的两个话题作为GS线性代数复习的终章。

奇异值分解

奇异值分解是矩阵最终和最好的分解。因子分别是正交矩阵,对角矩阵,正交矩阵。任意矩阵都可以进行这样的分解,但是两个正交矩阵可能不用。

正定矩阵的特征向量是垂直的,其分解是$A = S\lambda S^{-1} = Q\lambda Q^T$,Q也是特征向量矩阵 。

在行空间找到向量$v_1$,然后变换到列空间某向量记做$u_1、u_1 = Av_1$。现在要找到行空间的一组正交基,变换到列空间里的一组正交基。找到一组特殊正交基,普通正交基变换后可能不正交,当A作用后,它转变成另一组正交基

r是行空间的维数,$Av_1$就是第一列,最右边的矩阵是用来缩放的,$p_1、p_2 >0$,$V和U$都是正交矩阵,A是一个正交方阵。

现在把第一张图完善成n维空间。

线性变换

线性变换是线性代数另一个起点,它也是一个重要话题,没有坐标系就没有矩阵,物理学家喜欢用线性变换,但有时为了出来结果,还是会转化为矩阵。

ex1 投影
投影,通过线性变换通过它使平面一个向量变成另一个平面向量,这也被我们称作映射。例如可以把某个平面内的向量,全部映射到直线上,向量v变成向量T(v),T就可以称为一个线性变换,这可以不涉及坐标轴。线性变换对加法和数乘封闭, $T(cv+dw) = cT(v) +dT(w)$

ex2 平面平移。
平面内某向量全部沿着vo进行 ,T(v)=v+v0,但这个不是线性变换。利用定义去判断。

ex3 求向量长度的变换
$T(v)=||v||$,T是由$R^3$到$R$的转变。三维向量的长度,所以它也不是一个线性变换。

ex4 旋转
旋转是一个线性变换 ,相加后旋转,还是旋转后相加,内容一样。课本的插图已经描述了一个线性变换。

ex5矩阵变换
$T(v)=Av$,这是一个线性变换,也对应一系列线性变换,因为每一个不同的矩阵对应于一个变换,假设平面内所有向量都乘以矩阵A, 就又是另外一个变换了。

理解线性变换的方法是找到它背后的矩阵,要做到这一点,就必须确定坐标系,确定基。假设现在有一个线性变换T,输入是三维向量$R^3$,输出是二维向量$R^2$,$T(v)=Av$,则变换矩阵是2*3矩阵,每一个线性变换对应一个矩阵。

线性变换对一个向量来说意味着什么?我们需要了解所有向量的$T(v)$,才能理解线性变换的意义,线性变换对于整个线性空间有什么影响呢。为了简化问题,假设已经知道$T(v_2)、T(v_1)$,以它们为基向量,就能确定对整个空间的影响。

如何把一个与坐标无关的线性变换变成坐标有关的矩阵呢?坐标的存在意味着基的确立,线性组合的系数就是坐标系里的值,坐标源自一组基。只要确定了一组基,其他向量都可以通过基的组合表示,也就确定了坐标,确定了坐标系。坐标源自一组基。常见的向量其实默认了单位坐标系,但也可以用特征向量作为基。

现在希望通过一个矩阵来描述线性变换,构造一个矩阵A,用于线性变换T需要用输入空间的一组基来描述输入向量,也需要输出向量的一组基来描述输出向量,一共需要两组基。现在开始选择坐标。选择$R^n$空间的向量v,通过基把它们表示出来,然后把这些坐标乘以矩阵A,通过输出空间的基 。希望矩阵A起到线性变换作用,并组合这些基。

例子,投影,n和m都等于2,都在二维平面上,让所有向量变化变换后都投影到一条直线上,这里打算用另外一组基去替换标准基,这既是输入空间也是输出空间的基,第一个基向量选在直线上,第二个基向量垂直直线。任意向量v都可以表示为$v_1$和$v_2$的组合, $T(v_1)=1;T(v_2) =0;v = c_1v_1+c_2v_2$, 输入$(c_1,c_2)$,输出$(c_1,0)$,矩阵A乘以输入坐标,得到输出坐标。在这里,输入空间和输出空选择了同一组基,也因为矩阵A是一个对角阵,如果以特征向量作为基向量,则得到的矩阵A是该矩阵的特征值为对角线的对角阵,对角线上都是特征值。

总结,把矩阵和线性变换联系起来。

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