线性代数 | 正交矩阵 GS正交化

线性代数历史文章如下表:
第一篇:开篇杂谈
第二篇:行列图像
第三篇:解方程组
第四篇:一些基础概念
第五篇:向量空间
第六篇:正交向量 子空间投影

本篇和第六篇关系密切,为了篇幅问题进行了分割。

正交基

假定一组长度为1的向量,$q_1,…,q_i,q_j$。 假设当$i=j$,$q_i^{T}q_j= 0$。当$i \neq j$,$q_i^{T}q_j=1$,这一组向量被称为标准正交向量,标准指的是标准长度。

正交矩阵

由标准正交向量做列组成的矩阵,叫做正交矩阵。正交矩阵有以下几个性质:

  • $Q^TQ=I $证明略,依靠性质证明;当矩阵是方阵时,有逆矩阵$Q^{-1}=Q^T$。
  • 任意的置换矩阵都是正交矩阵。
  • $\begin{bmatrix}{cos}&{-sinx}\\{sinx} &{cosx} \end{bmatrix}$是一个典型的正交矩阵。
  • 令Q是正交矩阵,假设要投影到Q的列空间里,则投影矩阵$P=Q(Q^TQ)^{-1}Q^T=QQ^T$
    • 假设矩阵是方阵,且列向量线性无关,那么列空间就是整个空间,此时投影矩阵就是单位矩阵,向量投影后还在原来的位置。
    • 若Q不是方针,$QQ^T$则是对称矩阵,且$QQ^T(QQ^T)=QQ^T$平方等于自己。
    • 上一篇中所有的方程都可以在通过标准正交化之后,得到相应的简化。$A^Ax=A^Tb \rightarrow Q^TQx=Q^Tb \rightarrow x=Q^Tb \rightarrow x_i=q_i^Tb$ 在第i个基方向上的投影就是等于$q_i^Tb$

标准正交化

二维标准正交化

假设在二维平面上存在两个向量a和b,可以令a为向量$q_1$,则$q_2$相当于b在a上投影产生的误差e,则

若扩展到多维上,即假设三维空间内存在向量a,b,c。现在要将其正交化,那么首先根据上面二维做法确定$q_1,q_2$,之后计算向量c减去其在q1和q2上的分量,即最终结果。

之后通过归一化就可以得到标准正交向量。

标准正交化对整个线性代数体系都是非常有意义的,通过把一组基正交化可以使许多问题的形式得到极大的化简。

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