线性代数 | 解方程组

这个系列、或者说这一类的风格会一直转变的,我也处于不断的摸索过程中。

我们怎么求解方程组呢?先配系数消掉x,再把x带回去,求出y。这就是消元法,现在用矩阵观点来看待这个问题。回想自己求一个二元方程组的过程,我们依然举下面这个例子,

对于本例,左上角的数字2被称为主元,主元所在的行被称为主元行,之后进行消元,得到矩阵

接下来利用下面这一行对应的方程求出y,再代入求x就算出答案。
对于三元方程组,举例

对应的矩阵消元过程为

注意第一次我们以对角线上的第一个数字1为主元,消掉x得到了矩阵(2),然后我们以对角线上第二个数字2为主元,消掉y得到了矩阵(3),之后就可以进行回带求解了。最后得到的矩阵(3)就是U:上三角矩阵。

考虑以上两个过程,我们做出总结。对角线上的三个数就是三个主元,也就是在求解过程用来消元的基础元;消元的过程就是矩阵变换的过程

另外,考虑主元失效的情况,即主元位置为0的情况,一般解决方案是进行行交换。但如果行交换也解决不了问题,比如右下角主元为0的情况,那么这就代表该矩阵不可逆。 确定消元失效。

在第一篇末尾我们提到按列和行的角度来看方程组。从列的角度来看,有

从行的角度来看,则有

请一定学会用行、列的观点来看待方程组。
那么

从矩阵1转到矩阵2这个换元的过程就是在左边乘以一个矩阵$E_1$的过程(用前面讲的用行向量思考的方式去求解矩阵3)从前文矩阵2到矩阵3同理再乘以一个矩阵$E_2$即可,于是我们得到式子

这就是矩阵乘法的内容了。

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