线性代数 | 开篇杂谈

没学过线性代数,在自然科学面前就如同文盲,此言非虚。

做科研、读论文时,线代和矩阵论的基础很弱的话,读懂就要了老命了,更谈不上化归、拓展。我个人未来想做自动驾驶方面的工作,线性代数更是一个绕不开、避不掉的基础话题。另外,我的学习圣经,YY硕的机器人工程师养成计划在五个不同的阶段都提到了线性代数的迭代学习,它的重要性不用在多说了。

线性代数是一门基础课程,但国内大部分学校的线代教学方式实在让人不敢恭维,以同济教材为例,上来就抛出一个逆序数这个反人类概念,之后从行列式开始往后展开内容,这种方式是很不利于认识线性代数本质的。以向量空间和线性变换作为切入点构建整个知识体系是更好的方式,这也是本篇博客提到的Gilbert Strang教授所推崇的观点。

另外,众多大学生本科学习线性代数时偏重于计算,很多人的意识里线性代数就是把一堆莫名其妙的矩阵加加乘乘。这种认识是片面的,线性代数不止具有工具性,也具有思想性。线性代数其实提供了一种看待世界的新视角,用向量去表示对象特征的组合,用矩阵给对象施加“运动”,特征值和特征向量描述了“运动”的速度和方向。注意这里的“运动”是广义的运动,也可以称作状态转换。再比如以高维的视去看待问题:薛定谔的猫可以用6n空间的一个点描述,n是组成猫的原子数,向量的实质是n维线性空间的静止点,通过这种方式可以简化问题。

这门学科是着重于抽象概念解释的,至于具体的数学公式和计算,交给公式查找表和MATLAB就好。

我自己自学时是个很挑的人,尤其讨厌走不必要的弯路,浪费大量时间资源。在准备重塑自己对线性代数的认识之前,我百度谷歌了一下,在各种网站和评论里看到Gilbert Strang的名字,他确实是个做教育的牛人。他的课程有一种让人很舒服的节奏,上他的课时我感觉自己每分每秒精神都很集中,这是很难得的学习状态。

附带一些GS教授的入门资源。

  • 看网易上的MIT线性代数课程,一共35讲,每讲大致在45分钟+,网址:O麻省理工公开课:线性代数,可以用硕鼠把它们下载下来,找个好的视频播放器(potplayer,本地播放非常优秀)观看。

  • 该门课的配套教材也非常值得推荐,网上较难寻觅,可把习题打印下来,书本内容直接看电子版也没问题。链接:https://pan.baidu.com/s/1VVPIUTPTv_nEej1s2N8ZJg 密码:qydd

  • 带着问题去学习线性代数,或者检验自己有没有理解线性代数时,都可以去尝试下自己能回答出下面几个问题。问题摘自孟岩同志的博客《理解矩阵》,十年前的文章,但依然光芒万丈,可在学视频前学习,也可在学完后检验。

  • 笔记要记,还是推荐电子笔记,修改留存效果比较好,推荐印象笔记+马克飞象,此外公式要推导,例子要重视,这些在这里就不再赘述了。

附上孟岩的问题,答答看看吧:

  1. 矩阵究竟是什么东西?向量可以被认为是具有n个相互独立的性质(维度)的对象的表示,矩阵又是什么呢?我们如果认为矩阵是一组列(行)向量组成的新的复合向量的展开式,那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用?特别是,为什么偏偏二维的展开式如此有用?如果矩阵中每一个元素又是一个向量,那么我们再展开一次,变成三维的立方阵,是不是更有用?*

  2. 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定?为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效?很多看上去似乎是完全不相关的问题,最后竟然都归结到矩阵的乘法,这难道不是很奇妙的事情?难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面,包含着世界的某些本质规律?如果是的话,这些本质规律是什么?

  3. 行列式究竟是一个什么东西?为什么会有如此怪异的计算规则?行列式与其对应方阵本质上是什么关系?为什么只有方阵才有对应的行列式,而一般矩阵就没有(不要觉得这个问题很蠢,如果必要,针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的,之所以不做,是因为没有这个必要,但是为什么没有这个必要)?而且,行列式的计算规则,看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系,为什么又在很多方面决定了矩阵的性质?难道这一切仅是巧合?

  4. 矩阵为什么可以分块计算?分块计算这件事情看上去是那么随意,为什么竟是可行的?

  5. 对于矩阵转置运算$A^T$,有$(AB)^T = B^TA^T$,对于矩阵求逆运算$A^{-1}$,有$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。两个看上去完全没有什么关系的运算,为什么有着类似的性质?这仅仅是巧合吗?

  6. 为什么说$P^{-1}AP$得到的矩阵与A矩阵“相似”?这里的“相似”是什么意思?

  7. 特征值和特征向量的本质是什么?它们定义就让人很惊讶,因为$Ax =\lambda x$,一个诺大的矩阵的效应,竟然不过相当于一个小小的数λ,确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定?它们刻划的究竟是什么?

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