线性代数 | 行列图像

这是线性代数笔记系列中的一篇文章。

我们来构建一个方程组

它的几何意义可以从两方面看,第一,从行的角度看。在二维直角坐标系内$2x-y=0$是一条直线,$-x+2y=3$也是一条直线,两条直线交点的坐标值就是待求解。这是行图像。

第二,从列的角度来看方程组,首先把它写成矩阵相乘即$Ax=b$的形式。

这是线性代数中方程组的表示方法。我们可以把它写成

考虑向量$v_1=(-2,1)$和向量$v_2=(1,2)$,在直角坐标系中画出这两个向量,再画出最终向量$(0,3)$,问题转化为求$v_1,v_2$系数$x,y$,运用平行四边形法则就可以算出来。这是列图像。另外学过线性代数的都知道,这是一个线性组合的过程。

现在让我们更进一步,考虑三元方程组的行图像和列图像。它的每一行是个平面方程,行图像是在三维坐标系里求三个平面的交点。列图像就是求三个三元向量$v_1,v_2,v_3$的系数x,y,z。

四元方程组,五元方程组思考方式与上类似。

考虑一个经典问题,对于任意$b$,$Ax=b$是否都有解? 以三元方程组举例,任意$b$对应的其实就是整个三维空间,问题就转化为,列的线性组合是否能覆盖整个三维空间?

这里直接给出答案,如果矩阵A是非奇异矩阵,答案就是肯定的。A是非奇异矩阵代表着A的各列线性无关,从列图像的角度看,线性无关就代表着各列所代表的向量不在一个平面上(如果它们在一个平面上,就永远无法组合出除了这个平面之外的向量)。

所以,我们得出了从列图像角度得到的一些结论,这里的举例中,A是3x3矩阵,b是三维空间中的向量,x是矩阵各列向量的系数。
非奇异矩阵A$\rightarrow$矩阵各列线性无关$\rightarrow$各列代表的向量无关$\rightarrow$三个向量不共平面$\rightarrow$可以用这样的向量组合出三维空间里所有的向量$\rightarrow$对于方程组$Ax=b$,对任意$b$,$x$都有解。

列图像是一个很重要的概念,行图像在线性代数里没那么重要,借用列图像可以帮我们重新认识很多线性代数的概念。

最后一个重点,也是基于行、列图像的延伸。怎么去看待$Ax=b$?GS的建议是站在列图像的角度看,将其看做A的各列的线性组合,$x$里的各项就是A的各列的系数。

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