线性代数 | 行列式

以前吐槽过,同济线性代数参考书以行列式作为起点很反人类,这本线性代数以向量空间作为故事的起点就很值得称赞。到了现在,我们终于站在了行列式面前。今天,让我们重新认识一下行列式吧。

行列式的作用是求特征值,它是与方阵有关的概念,记作$detA$,或者$|A|$,它包含了矩阵很多信息。比如当矩阵可逆时,即是非奇异矩阵时,行列式的值非零。

行列式性质

四个基础性质
  1. $det I = 1$;
  2. 交换矩阵的行,行列式的值会相反。
  3. 假如某一行乘以t,行列式的结果乘以t。
  4. 把某一行变成 $a+a’$ 和 $b+b’$,或者其余n-1行不变,结果变成两个拆开的行列式的和。即注意,这和$det(A+B) = det(A)+det(B)$不同,后者会相加每一行,而这里强调的是每一行的线性。
    其他引申性质
  5. 如果行列式中两行相等,行列式为0,秩小于n,不可逆,奇异矩阵。利用性质2证明。
  6. 从行k减去行1的i倍,行列式的值不改变。证明,先利用性质4拆分,再利用性质5。
  7. 若有一行是0,那么行列式值是0,是奇异矩阵,不可逆,秩小于n。证明,利用性质3,让t等于0
  8. 上三角矩阵U的行列式值是对角线上元素(也就是主元)的积。证明:假设主元部分都不等于0,利用性质6,不断消掉除对角线元素之外的值,得到对角阵,再利用性质3提取一个单位阵,最后结合性质1得出结论。考虑某主元等于0的情况,则得到一个全零行,值为0,得到的是奇异矩阵,不可逆。
  9. $detA = 0$ ,当且仅当A是奇异矩阵;证明:假设矩阵是奇异的,则通过消元法,会得到全零行,所以行列式的值是0.$detA \neq 0$,当且仅当A可逆。
  10. 容易证明对于对角阵,性质10成立,对于其他矩阵,则需要一步步消元。当$detA=0$时,从第二个公式来看,逆矩阵没意义。
  11. $detA^T= detA$ ,如果存在全零列,行列式也会为0,证明:$ |A|=|LU| |A^T|=|U^TL^T| $ ,因为是三角阵,转置不转置对结果没影响的。因而得证,证明关键在于把矩阵先转化为三角阵,再利用行列式值等于对角线上主元积这个性质。

性质5-8其实都离不开消元法,我们需要了解矩阵包含哪些主元,是否有全零行等。

行列式公式

行列式过去是个大热话题,但是时代已经变了。但它是详尽、完整、自洽的一部分。
行列式公式核心利用代数余子式进行求解,不再赘述。其推导过程没什么难度,只是繁琐。推导过程是以上述行列式性质为基础的。

行列式应用

求逆矩阵

从二维矩阵的例子来看,只有当行列式值不为0时候才有逆矩阵。$A^{-1} = \frac{C^T}{1/detA} $,$C^T$是伴随矩阵。 各元素是代数余子式。
证明:检验A乘以它的逆矩阵是否是单位阵。也就是$AC^T= (detA)I$。利用乘法检验。注意,假设让第一行去乘以其他行的代数余子式,其结果相当于一个特殊矩阵的行列式,这个特殊矩阵的首行和末行相等。

克拉默法则。

求$Ax = b $。 则$x = A^{-1}b = \frac{C^T}{1/detA}b$。
$x_1 = det B_1/detA$.B1相当于把矩阵A的第一列由b代替。

行列式求体积。

行列式的绝对值等于一个箱子,即一个平行六面体的体积,由于右手系左手系的箱子,行列式的值可能为负。我们现在取。假设A是一个单位阵。如果证明箱子满足三性质,由于三性质定义了一个行列式,就能证明命题了。

假设A = Q(各列都是标准正交向量),则A对应一个立方体,它是单位矩阵旋转之后的情况(不必刻意区分行和列)。接下来分析Q,已知$Q^TQ = I$, 两边取行列式可知$detQ=1$。则对于立方体,已经证明了。

然后证明长方体。当一边长度增加2倍,最后的体积也变为2倍,性质3也证明了。

为了满足最终证明,还需要性质4来摆脱角度性质(性质4的证明请见课本)。

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