转载-新理解矩阵(五)

转载这个系列文章的原因见新理解矩阵(一)线性代数/矩阵论有更直观的理解方式。本篇对矩阵行列式的再认识。

新理解矩阵 5

在文章《新理解矩阵 3》:行列式的点滴中,笔者首次谈及到了行列式的几何意义,它代表了 n 维的“平行多面体”的“体积”。然而,这篇文章写于我初学矩阵之时,有些论述并不严谨,甚至有些错误。最近笔者在写期末论文的时候,研究了超复数的相关内容,而行列式的几何意义在我的超复数研究中具有重要作用,因此把行列式的几何意义重新研究了一翻,修正了部分错误,故发此文,与大家分享。

一个 n 阶矩阵 A 可以看成是 n 个 n 维列向量$ x_1,x_2,…,x_n$ 的集合$A=(x_1,x_2,…,x_n)$从代数的角度来看,这构成了一个矩阵;从几何的角度来看,这 n 个向量可以建立一个平行 n 维体。比如:平行四边形就是“平行二维体”,平行六面体就是“平行三维体”,高阶的只需要相应类比,不需要真正想象出高维空间的立体是什么样。

让我们考虑矩阵 A 的行列式 detA,我们知道 detA 有如下性质:行列式性质

  1. 行列式是$ x_1,x_2,…,x_n$ 的一个函数,即 $detA=f(x_1,x_2,…,x_n)$;
  2. (线性 1)行列式的某一列乘上常数α,则行列式的值也乘上α;
  3. (线性 2)将行列式的某一列写成两列之和,那么行列式也相应地成为两个行列
    式之和,性质二和三表明 f 是关于每个向量的线性函数;
  4. (反对称)只要有两列相同,那么行列式值为 0;
  5. (归一)单位矩阵的行列式为 1,即 f(I)=1。

一个惊人的事实是,行列式可以由上面五条性质唯一确定!即由上面五条性质就可以唯一确定一个函数 f,这个函数就是矩阵的行列式。从几何的角度来看,用这 n 个向量,可以生成 n 维空间的一个平行 n 维体。让我们来考虑这个平行 n 维体的体积 V。只在第一卦限讨论,那么体积具有下面的性质(只在第一卦限讨论,限保证了所有的向量和因子都是正数。)

体积性质

  1. 体积是这 n 个向量的一个函数 $V(x_1,x_2,…,x_n)$;
  2. 将某个向量乘以α,也就是把它的长度变为来说的α倍,那么体积也增大α倍
  3. 体积是可加的,这点需要稍加验证,但它的确是正确的。
  4. 只要有两个向量重合,那么体积自然为 0
  5. 由单位矩阵 I 构成的平行 n 维体是一个 n 维的单位立方体,它的体积自然是 1,

比较行列式和体积的性质,可以发现它们是完全相同的,所以在第一卦限中的平行 n 维体的体积就是对应矩阵的行列式!如果将其放到所有卦限中,那只不过是体积概念的推广(允许为负数)。因此,我们不妨这样定义:体积就是行列式。事实上,负体积的引入具有重要意义,它是现在的“外微分”的基础之一。外微分一个典型的用处是它可以把高斯积分公式、斯托克斯积分公式等统一起来。它使微分的理论和形式更完整统一。

学过线性代数的朋友都知道,方阵和非方阵的一个明显不同是,对于方阵我们可以计算它的行列式,如果不是方阵的话,就没有行列式这个概念了。在追求统一和谐的数学系统中,为什么非方阵却没有行列式?也许对于这个问题最恰当的回答是——因为不够美。对于非方阵,其实也可以类似地定义它的行列式,定义出来的东西,跟方阵的行列式具有同样的性质,比如某行乘上一个常数,行列式值也就乘以一个常数,等等;而且还可以把其几何意义保留下来。但是,非方阵的行列式是不够美的,因为对于一个一般的整数元素的方阵,我们的行列式是一个整数;而对于一个一般的整数元素的非方阵,却导致了一个无理数的行列式值。另外,一个也比较重要的原因是,单单是方阵的行列式也够用了。综合以上两个理由,非方阵的行列式就被舍弃不用了。

n 阶方阵的行列式是每个向量的线性函数,它代表着向量之间的线性相关性;从几何上来讲,它就是向量组成的平行 n 维体的(有向)体积。我们当然期望非方阵的行列式也保留这些性质,因为只有这样,方阵行列式的那些运算性质才得以保留,比如上面说的,行列式的一行乘上一个常数,行列式值也乘上一个常数。我们考虑$ m\times n$ 的矩阵,其中 $m < n$ ,我们将它看成是 m 个 n 维向量的组合。最简单的,我们先考虑 $1\times 2$ 矩阵的行列式,也就是二维向量(a,b)的行列式。我们已经知道,$2\times 2$ 矩阵的行列式的绝对值,就是这两个向量所围成的平行四边形的面积。类似地,二维向量(a,b)的行列式的绝对值,就等于该向量自身的长度了,也就是$\det(a,b)=\sqrt{a^2+b^2}$,对于有理的 a,b,大多数情况都会出现无理的行列式值,这是不协调的。因为它是线性的函数,有理数的线性运算导致无理数,却是不大舒服的。类似的,可以考虑 $2\times 3$ 矩阵

的行列式。按照几何意义,它的行列式的模就是这两个向量所围成的平行四边形的面积。我们可以利用叉积来计算这个面积,但为了更一般化,我们利用正交化的方法来计算它。以向量$\boldsymbol{x}_1=(a,b,c)$为出发点,选取$\boldsymbol{e}_1=\frac{(a,b,c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$那么$\boldsymbol{x}_1=\left|\boldsymbol{x}_1\right|\boldsymbol{e}_1$。
对$\boldsymbol{x}_2=(d,e,f)$正交化,得到$\boldsymbol{x}_2 - \left\langle {\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{x}_2}\right\rangle\boldsymbol{e}_1$

得到

因此,行列式的模,也就是两个向量所形成的平行四边形的面积等于

最后的表达式出现了两个模,表明两个根号,随便挑个具体例子就可以验证,$\boldsymbol{A}$的元素全部是整数,也得不到有理数。这体现了非方阵行列式的不美之处。方阵的行列式就够了由于非方阵的行列式不够美,那么我们干脆弃之不用了。可是,这样会不会产生什么“副作用”?也就是说,会不会有哪些地方,非用到非方阵的行列式不可?事实上,至少就我目前的认识来说,答案是没有。

比如说判断 m 个 n 维行向量的线性相关性,我们是这样做的:第一种方法,利用初等变换,看变换后的矩阵的秩是否为 m;如果嫌第一种方法步骤太多,第二种方法相对来说干脆一点,就是检验删除任意 n-m 列后,剩下的方阵行列式是否为 0,如果存在一个不为 0,就说明线性无关了。所以说,方阵的行列式够用了。

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